Разделы сайта
Выбор редакции:
- Гадание в новый год для привлечения денег Как правильно гадать на новый год
- К чему снится клещ впившийся в ногу
- Гадание на воске: значение фигур и толкование
- Тату мотыль. Татуировка мотылек. Общее значение татуировки
- Что подарить ребёнку на Новый год
- Как празднуют день святого Патрика: традиции и атрибуты День святого патрика что
- Как научиться мыслить лучше Я не умею быстро соображать
- Эти признаки помогут распознать маньяка Существует три способа достижения абсолютной власти
- Как спастись от жары в городской квартире
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?
Реклама
Решение линейных однородных уравнений. Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений |
Однородная
система
всегда совместна и имеет тривиальное
решение . Фундаментальной
системой решений
однородной системы
Тогда общее решение однородной системы имеет вид: где
Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю. Пример . Найдем решение системы Примем , тогда получим решение в виде: Построим теперь фундаментальную систему решений: . Общее решение запишется в виде: Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства: Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаРешение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения. Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке. Предположим,
что в системе (1)
(1) Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х 1 (2) Умножим
теперь второе уравнение системы (2) на
подходящие числа, полагая, что
,
и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего. Продолжая
этот процесс, после
(3) Если
хотя бы одно из чисел
Переход от системы (1) к (3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из (3) – обратным ходом . Замечание : Преобразования удобнее производить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1). Пример . Найдем решение системы . Запишем расширенную матрицу системы: . Прибавим к строкам 2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2) соответственно: . Поменяем строки 2 и 3 местами, затем в получившейся матрице добавим к строке 4 строку 2, умноженную на : . Прибавим
к строке 4 строку 3, умноженную на
. Очевидно,
что
находим решение обратной подстановкой: ,
Пример 2. Найти решение системы: . Очевидно,
что система несовместна, т.к.
Достоинства метода Гаусса : Менее трудоемкий, чем метод Крамера. Однозначно устанавливает совместность системы и позволяет найти решение. Дает возможность определить ранг любых матриц. Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения). Инструкция . Выберите размерность матрицы: Свойства систем линейных однородных уравненийДля того чтобы система имела нетривиальные решения , необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Теорема
. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений. Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений
Пример
. Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,...,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой: Добавим 2-ую строку к 1-ой: Найдем ранг матрицы. Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - x 3 = - x 4 - x 2 - 2x 3 = - x 4 2x 1 + x 2 = - 3x 4 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 , то есть нашли общее решение: x 3 = x 4 x 2 = - x 4 x 1 = - x 4 Пример 1 . Найти общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы Решение
находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.
Первая и вторая строки пропорциональны, одну из них вычеркнем: . Зависимые переменные – x 2 , x 3 , x 5 , свободные – x 1 , x 4 . Из первого уравнения 10x 5 = 0 находим x 5 = 0, тогда ; . Общее решение имеет вид: Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2. Достаточно придать свободным неизвестным x 1 и x 4 значения из строк определителя второго порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 2 , x 3 , x 5 . Простейшим определителем, отличным от нуля, является . Таким образом, первое решение: , второе – . Эти два решения составляют фундаментальную систему решений. Заметим, что фундаментальная система не единственна (определителей, отличных от нуля, можно составить сколько угодно). Пример 2
. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы Задание
. Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Задание
. Найти общее и частное решения каждой системы.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой: Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: 22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5 6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение : Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 через свободные x 3 ,x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение : x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5 x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5 Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3. Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 . Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Пусть М 0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений. Определение 6.12. Векторы с 1 , с 2 , …, с p , являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений называются фундаментальным набором решений (сокращенно ФНР), если 1) векторы с 1 , с 2 , …, с p линейно независимы (т. е. ни один из них нельзя выразить через другие); 2) любое другое решение однородной системы линейных уравнений можно выразить через решения с 1 , с 2 , …, с p . Заметим, что если с 1 , с 2 , …, с p – какой-либо ф.н.р., то выражением k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + … + k p ×с p можно описать все множество М 0 решений системы (4), поэтому его называют общим видом решения системы (4). Теорема 6.6. Любая неопределенная однородная система линейных уравнений обладает фундаментальным набором решений. Способ нахождения фундаментального набора решений состоит в следующем: Найти общее решение однородной системы линейных уравнений; Построить (n – r ) частных решений этой системы, при этом значения свободных неизвестных должны образовывать единичную матрицу; Выписать общий вид решения, входящего в М 0 . Пример 6.5. Найти фундаментальный набор решений следующей системы: Решение . Найдем общее решение этой системы. ~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ В этой системе пять неизвестных (n = 5), из них главных неизвестных два (r = 2), свободных неизвестных три (n – r ), то есть в фундаментальном наборе решений содержится три вектора решения. Построим их. Имеем x 1 и x 3 – главные неизвестные, x 2 , x 4 , x 5 – свободные неизвестные Значения свободных неизвестных x 2 , x 4 , x 5 образуют единичную матрицу E третьего порядка. Получили, что векторы с 1 , с 2 , с 3 образуют ф.н.р. данной системы. Тогда множество решений данной однородной системы будет М 0 = {k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + k 3 ×с 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R}. Выясним теперь условия существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, другими словами условия существования фундаментального набора решений. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, то есть является неопределенной, если 1) ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных; 2) в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных; 3) если в однородной системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, и определитель основной матрицы равен нулю (т. е. |A | = 0). Пример 6.6 . При каком значении параметра a однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения? Решение . Составим основную матрицу этой системы и найдем ее определитель: = = 1×(–1) 1+1 × = –а – 4. Определитель этой матрицы равен нулю при a = –4. Ответ : –4. 7. Арифметическое n -мерное векторное пространство Основные понятия В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить. Определение 7.1. n -мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Значит а = (a 1 , a 2 , …, a n ), где a i Î R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа a i называются его координатами . Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор. Все множество n -мерных векторов принято обозначать как R n . Определение 7.2. Два вектора а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n = b n . Определение 7.3. Суммой двух n -мерных векторов а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) называется вектор a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n + b n ). Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (a 1 , a 2 , …, a n ) называется вектор k ×а = (k ×a 1 , k ×a 2 , …, k ×a n ) Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором ). Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами: " a , b , c Î R n , " k , l Î R: 1) a + b = b + a ; 2) a + (b + c ) = (a + b ) + c ; 3) a + о = a ; 4) a + (–a ) = о ; 5) 1×a = a , 1 Î R; 6) k ×(l ×a ) = l ×(k ×a ) = (l ×k )×a ; 7) (k + l )×a = k ×a + l ×a ; 8) k ×(a + b ) = k ×a + k ×b . Определение 7.6. Множество R n с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством . Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса. Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?Возьмём для примера такую систему линейных уравнений: Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- К чему снится клещ впившийся в ногу
- Гадание на воске: значение фигур и толкование
- Тату мотыль. Татуировка мотылек. Общее значение татуировки
- Что подарить ребёнку на Новый год
- Как празднуют день святого Патрика: традиции и атрибуты День святого патрика что
- Как научиться мыслить лучше Я не умею быстро соображать
- Эти признаки помогут распознать маньяка Существует три способа достижения абсолютной власти
- Как спастись от жары в городской квартире
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?