Разделы сайта
Выбор редакции:
- Гадание в новый год для привлечения денег Как правильно гадать на новый год
- К чему снится клещ впившийся в ногу
- Гадание на воске: значение фигур и толкование
- Тату мотыль. Татуировка мотылек. Общее значение татуировки
- Что подарить ребёнку на Новый год
- Как празднуют день святого Патрика: традиции и атрибуты День святого патрика что
- Как научиться мыслить лучше Я не умею быстро соображать
- Эти признаки помогут распознать маньяка Существует три способа достижения абсолютной власти
- Как спастись от жары в городской квартире
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?
Реклама
События складываются не. Теорема сложения вероятностей несовместных событий |
Важные замечания! Что такое вероятность? Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно. Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие. Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор. Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь. Но каков этот шанс? Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь. Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг: а. За 1ой
дверью Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает. Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить. А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. . Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий. Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому: Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов. Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на: Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход. Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные. Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг? Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться. У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги: 1) Позвонить в 1-ую
дверь Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось): а) Друг за 1-ой
дверью Давай снова нарисуем таблицу: Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна. А почему не? Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь. А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, . Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают. Хрестоматийный пример - бросание монетки.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - . Отличить зависимые события от независимых легко:
Давай немного потренируемся определять вероятность. Пример 1. Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел? Решение: Рассмотрим все возможные варианты:
Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность: Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на. Ответ: Пример 2. В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой. Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах. Решение: Сколько всего возможных исходов? . То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке. А сколько благоприятных исходов? Потому что в коробке только конфет с орехами. Ответ: Пример 3. В коробке шаров. из них белые, - черные.
Решение: а) В коробке всего шаров. Из них белых. Вероятность равна: б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - . Ответ: Полная вероятность
Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар? Вероятность вытащить красный шар Зеленый шар: Красный или зеленый шар: Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи. Пример 4. В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный. Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер? Решение: Давай посчитаем количество благоприятных исходов. НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Правило умножения вероятностей независимых событийЧто такое независимые события ты уже знаешь. А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд? Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла? Мы уже считали - . А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд? Всего возможных вариантов:
Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый). Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты. Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события. Другими словами, Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки. Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз. Какова вероятность выпадения раз подряд орла? Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд. Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также. Вероятность выпадения решка - , орла - . Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА: Можешь проверить сам, составив таблицу. Правило сложения вероятностей несовместных событий.Так стоп! Новое определение. Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события. Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий. Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события. Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей. Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей. Всего вариантов, нам подходит. То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности: Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий. Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать: Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз. Должны выпасть: Давай рассмотрим несколько примеров. Пример 5. В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши? Решение: Пример 6. Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков? Решение. Как мы можем получить очков? (и) или (и) или (и) или (и) или (и). Вероятность выпадения одной (любой) грани - . Считаем вероятность: Тренировка.Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся. Задачи: Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.
Ответы: Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки! ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬРассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До. Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает. В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным). Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события. А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или). Определение: Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные. Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность). Принято измерять вероятность в процентах (см. тему , ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность. А в процентах: . Примеры (реши сам):
Решения:
Полная вероятностьВсе карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -). Такое событие называется невозможным . А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или. Такое событие называется достоверным . Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - . В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или. Пример: В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый? Решение: Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна. Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет. Независимые события и правило умноженияТы кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого? Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их: Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще? Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна. Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ). Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения : Вероятности независимых событий переменожаются. Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки. Еще примеры:
Ответы:
Несовместные события и правило сложенияНесовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка. Пример. В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный? Решение . Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - . Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна. Эту же вероятность можно представить в таком виде: . Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются. Задачи смешанного типаПример. Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный? Решение . Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать. Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае: Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел). Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение: Попробуй сам:
Решения: Еще пример: Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел? Решение: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМВероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. Независимые события Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется. Полная вероятность Вероятность всех возможных событий равна (). Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет. Правило умножения вероятностей независимых событий Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий Несовместные события Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий. Вероятности несовместных событий складываются. Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения. Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут. Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%! Теперь самое главное. Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить… Для чего? Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика. Но и это - не главное. Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю... Но, думай сам... Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым? НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ. На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время . И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай! Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем. Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь. Как? Есть два варианта:
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу. Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта. И в заключение... Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории. “Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба. Найди задачи и решай! Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей . Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей. Методические указания по теме 3.1: Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей: Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием. Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным. События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании. События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события. Вероятностью события называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим . Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным. Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m , благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим . Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два: Число случаев m , благоприятствующих событию , составляет По формуле находим вероятность появления двух черных шаров: Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей: Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий: Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной. Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные. Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий: Сложив найденные величины, получим Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно. Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой: Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A ); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B ) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB ). Таким образом, т.е. Теорема умножения вероятностей: Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле: Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго: Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем По формуле получим: Вопросы для самопроверки по теме 3.1: 1. Что такое событие? 2. Какие события называются достоверными? 3. Какие события называются невозможными? 4. Дать определение вероятности. 5. Сформулировать теорему сложения вероятностей. 6. Сформулировать теорему умножения вероятностей. Задания для самостоятельного решения по теме 3.1: 1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной. 2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным. 3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно. 4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего. 5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми. 6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными. Лекция 7. Теория вероятностей СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ Теорема сложения вероятностей совместных событий Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий. Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Пример 1 . А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные. Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Доказательство . Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий, имеем: Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ). (*) Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А
Р(А) = Р(А ) + Р(АВ). Р(А )=Р(А) – Р(АВ). (**) Аналогично имеем Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ). Р(ĀВ) = Р(В) – Р(АВ). (***) Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (****) Что и требовалось доказать. Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми , так и зависимыми . Для независимых событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р(В); Для зависимых событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р А (В). Замечание 2. Если события А и В несовместны , то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0. Формула (****) для несовместных событий принимает вид Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий. Пример 2.
Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94. Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q 1 q 2 В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы: q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3; q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2; Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94. Как и следовало ожидать, получен тот же результат. Теоремы сложения и умножения вероятностей. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- К чему снится клещ впившийся в ногу
- Гадание на воске: значение фигур и толкование
- Тату мотыль. Татуировка мотылек. Общее значение татуировки
- Что подарить ребёнку на Новый год
- Как празднуют день святого Патрика: традиции и атрибуты День святого патрика что
- Как научиться мыслить лучше Я не умею быстро соображать
- Эти признаки помогут распознать маньяка Существует три способа достижения абсолютной власти
- Как спастись от жары в городской квартире
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?