Разделы сайта
Выбор редакции:
- Гадание в новый год для привлечения денег Как правильно гадать на новый год
- К чему снится клещ впившийся в ногу
- Гадание на воске: значение фигур и толкование
- Тату мотыль. Татуировка мотылек. Общее значение татуировки
- Что подарить ребёнку на Новый год
- Как празднуют день святого Патрика: традиции и атрибуты День святого патрика что
- Как научиться мыслить лучше Я не умею быстро соображать
- Эти признаки помогут распознать маньяка Существует три способа достижения абсолютной власти
- Как спастись от жары в городской квартире
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?
Реклама
Площадь боковой грани прямой призмы. Площадь боковой поверхности призмы |
В основании призмы может лежать любые многоугольник – треугольник, четырехугольник, и т.д. Оба основания абсолютно одинаковы, а соответственно, которыми углы параллельных граней соединяются между собой, всегда параллельны. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. У прямой призмы ребра между боковыми гранями перпендикулярны основанию. При этом в основании прямой призмы может лежать многоугольник с любым количеством углов. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Прямоугольник – частный случай параллелограмма. Если в основании лежит именно эта фигура, а боковые грани расположены к основанию под прямым углом, параллелепипед называется прямоугольным. Второе название этого геометрического тела – прямоугольная . Как она выглядитПрямоугольных призм в окружении современного человека довольно много. Это, например, обычная картонная из-под обуви, компьютерных комплектующих и т.п. Оглядитесь по сторонам. Даже в комнате вы наверняка увидите множество прямоугольных призм. Это и компьютерный корпус, и книжная , и холодильник, и шкаф, и множество других предметов. Форма чрезвычайно популярна главным образом потому, что позволяет использовать место максимально эффективно, вне зависимости от того, оформляете вы интерьер или укладываете вещи в картонные перед переездом.Свойства прямоугольной призмыПрямоугольная призма обладает рядом специфических свойств. Любая пара граней может служить ее , поскольку все соседние грани расположены друг к другу под одним и тем же углом, и угол этот составляет 90°. Объем и площадь поверхности прямоугольной призмы вычислить проще, чем у любой другой. Возьмите любой предмет, имеющий форму прямоугольной призмы. Измерьте его длину, ширину и высоту. Чтобы найти объем , достаточно перемножить эти мерки. То есть формула выглядит так: V=a*b*h, где V – объем, a и b – стороны основания, h - высота, которая у этого геометрического тела совпадает с боковым ребром. Площадь основания вычисляется по формуле S1=a*b. Чтобы боковой поверхности, нужно сначала вычислить периметр основания по формуле P=2(a+b), а затем умножить его на высоту. Получается формула S2=P*h=2(a+b)*h. Для вычисления полной поверхности прямоугольной призмы сложите удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности. Получится формула S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная). Как выглядит призмаПравильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить: Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания. Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма. Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Площадь поверхности и объёмЧтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту: V = Sосн·h Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде: V = a²·h Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так: Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку. Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры: Sбок = Pосн·h С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид: Sбок = 4a·h Для куба: Sбок = 4a² Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований: Sполн = Sбок + 2Sосн Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид: Sполн = 4a·h + 2a² Для площади поверхности куба: Sполн = 6a²
Нахождение элементов призмыЧасто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует: Sдиаг = ah√2 Для вычисления диагонали призмы используется формула: dприз = √(2a² + h²) Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.
Примеры задач с решениямиВот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике. Задание 1. В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше? Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит: V₁ = ha² = 10a² Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка: V₂ = h (2a)² = 4ha² Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения: 10a² = 4ha² После сокращения обеих частей уравнения на a² получается: В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см. Задание 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.
Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом. Длина любого ребра определяется через известную диагональ: a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6 Площадь полной поверхности находится по формуле для куба: Sполн = 6a² = 6·6² = 216 Задание 3. В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей? Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности. Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м. Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² . Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей. Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.
Как найти площадь кубаОбщие сведения о прямой призмеБоковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма
площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований. Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра. Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl, где a 1 ,а n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана. Практическое заданиеЗадача (22) . В наклонной призме проведено сечение , перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l. Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl. Обобщение пройденной темыА теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма. Свойства призмы Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками; Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными. Какая призма называется прямой? Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой. Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Какую призму называют наклонной? А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма. Какую призму называют правильной? Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной. Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма. Свойства правильной призмыВо-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники; Сечение призмыА теперь давайте рассмотрим сечение призмы: Домашнее заданиеА теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач. Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы. А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру. У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы. Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма. Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы. А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Определение . Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам Элементы правильной четырехугольной призмыНа рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
Свойства правильной четырехугольной призмы
Формулы для правильной четырехугольной призмы
Указания к решению задачПри решении задач на тему "правильная четырехугольная призма " подразумевается, что:Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ . Задача.В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.Решение
. Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна √(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2 Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: Ответ : 22 см ЗадачаОпределите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.Решение
. A 2 + a 2 = 5 2 Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: H 2 + 12,5 = 4 2 Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания S = 2a 2 + 4ah Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 . Определение 1. Призматическая поверхность Параллелепипед : Призмой
называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники. Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление. Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками. Определение 3
. Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH"). Определение 5
. Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности.
В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро
; боковые грани будут прямоугольниками
. Теорема 2
. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- К чему снится клещ впившийся в ногу
- Гадание на воске: значение фигур и толкование
- Тату мотыль. Татуировка мотылек. Общее значение татуировки
- Что подарить ребёнку на Новый год
- Как празднуют день святого Патрика: традиции и атрибуты День святого патрика что
- Как научиться мыслить лучше Я не умею быстро соображать
- Эти признаки помогут распознать маньяка Существует три способа достижения абсолютной власти
- Как спастись от жары в городской квартире
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?
- Слова благодарности для учителей: что написать в открытке любимому педагогу?