МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для преподавателей по организации и проведению

олимпиады по дисциплине «Математика»

для всех специальностей

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Олимпиада по дисциплине «Математика» проводится ежегодно

   Порядок проведения олимпиады определяется согласно утвержденного графика проведения конкурсов (олимпиад) на учебный год, рассматривается на цикловой методической комиссии и утверждается зам. директора по УР.

   Олимпиада представляет собой очные соревнования, предусматривающие выполнение конкретных заданий, с последующей оценкой качества, времени и других критериев, проводимые в течение определенного периода и завершающиеся церемонией чествования победителей.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Цель олимпиады. Научить применять на практике математические знания. Выявить уровень эрудиции обучающихся и владение ими основных математических определений, теорем и свойств.

   Задачи олимпиады

   1. Развивать у учащихся интерес к изучению вопросов математики.

      Развивать коммуникативные умения учащихся, ответственность за работу, профессиональные интересы и предпочтения.

      Создать условия для формирования творческой активности, создать атмосферу здоровой конкуренции, ситуацию успеха.

УЧАСТНИКИ ОЛИМПИАДЫ

В олимпиаде принимают участие обучающиеся, осваивающие основные программы 1 курса ГБПОУ БПТ в соответствии с ФГОС.

ОРГАНИЗАЦИЯ И ПРОВЕДЕНИЕ ОЛИМПИАДЫ

Олимпиады проводятся государственным бюджетным профессиональным образовательным учреждением «Богородский политехнический техникум».

Олимпиада проводится в два этапа среди обучающихся техникума:

этап - внутригрупповой;

этап - внутри техникумовский.

Олимпиада по дисциплине «Математика» включает выполнение обучающимися (участниками) практических задач.

Задания первого этапа олимпиады

В тот день, когда Диму поздравляли с днём рождения его брат и сестра, Дима сказал: «Смотрите, как интересно, я теперь вдвое старше брата и втрое старше сестры!» «А ваш средний возраст 11 лет», - подхватил папа. Сколько лет исполнилось Диме?

Однажды следователю пришлось допрашивать трёх свидетелей ограбления: Джона Уайта, Сэма Грэя и Боба Блэка. Джон уверял, что все показания Сэма – сплошная ложь, а Сэм только и делал, что твердил, будто Боб говорит неправду. Боб же всё это время уговаривал следователя не верить ни Уайту, ни, тем более, Грэю. Следователь, будучи человеком сообразительным и умным, попросил всех троих замолчать и, не задав более ни одного вопроса, быстро определил, с кем из них стоит иметь дело, а с кем – нет. Кто же из свидетелей не лгал?

Сколько существует трёхзначных чисел, которые в 5 раз больше произведения своих цифр?

В окружности провели диаметр AB и параллельную ему хорду CD так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рисунок). Найдите угол CAB .

Постройте график уравнения, то есть изобразите на координатной плоскости все точки, координаты (х;у) которых удовлетворяют этому уравнению.

Задания второго этапа олимпиады

Число а на 1 больше числа b . Могут ли числа a 2 и b 2 быть равными?

Петя сбегает с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем мама едет на лифте. Мама едет на лифте с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем Петя сбегает с пятого этажа на первый. За сколько секунд Петя сбегает с четвёртого этажа на первый? (Длины пролетов лестницы между всеми этажами одинаковы).

Постройте график функции

В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1?

На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 - синим. Сколькими способами можно раскрасить все целые числа, соблюдая эти правила?

Дан прямоугольник ABCD . Точка M - середина стороны AB , точка K - середина стороны BC . Отрезки AK и CM пересекаются в точке E . Во сколько раз площадь четырехугольника MBKE меньше площади четырехугольника AECD ?

Ответы заданий первого этапа олимпиады

Ответ . Примеры семиугольников изображены на рисунке. Возможны и другие варианты.

Критерии проверки.

Найдены два или более семиугольников – 7 баллов .

Найден один семиугольник – 3 балла .

Ответ . 18 лет.

Решение .

Первый способ . По условию задачи можно составить уравнение. Пусть возраст Димы – х лет, тогда возраст сестры х/3, а брата – х/2; (х + х/3 + х/2):3=11. После решения этого уравнения получаем, что х=18. Диме исполнилось 18 лет. Будет полезным привести несколько иное решение, «в частях».

Второй способ . Если возрасты Димы, его брата и сестры изобразить отрезками, то «Димин отрезок» состоит из двух «отрезков брата» или трех «отрезков сестры». Тогда, если возраст Димы поделить на 6 частей, то возраст сестры – две такие части, а возраст брата – три такие части. Тогда сумма их возрастов – 11 таких частей. С другой стороны, если средний возраст равен 11 лет, то сумма возрастов – 33 года. Откуда следует, что в одной части – три года. Значит, Диме исполнилось 18 лет.

Критерии проверки .

Полное верное решение – 7 баллов.

Верно составлено уравнение, но при решении допущены ошибки – 3 балла .

Приведен верный ответ и выполнена проверка – 2 балла .

0 баллов .

Ответ . Сэм Грэй.

Решение .

Из условия задачи ясно, что высказывания каждого из свидетелей произнесены по поводу высказываний остальных двух свидетелей. Рассмотрим заявление Боба Блэка. Если то, что он говорит – правда, то Сэм Грэй и Джон Уайт лгут. Но из того, что Джон Уайт лжет следует, что не все показания Сэма Грэя – сплошная ложь. А это противоречит словам Боба Блэка, которому мы решили поверить и который утверждает, что Сэм Грэй лжет. Итак, слова Боба Блэка не могут быть правдой. Значит, он солгал, и мы должны признать слова Сэма Грэя правдой, а, следовательно, утверждения Джона Уайта – ложью. Ответ: не лгал Сэм Грэй.

Критерии проверки .

Приведен полный верный анализ ситуации задачи и дан верный ответ – 7 баллов .

Приведен полный верный анализ ситуации, но по каким-либо причинам дан неверный ответ (например, вместо того, кто НЕ солгал, в ответе указаны те, кто солгал) – 6 баллов .

Приведен верный анализ ситуации, но по каким-либо причинам не дан верный ответ (например, доказано, что Боб Блэк лгал, но не сделаны дальнейшие выводы) – 4 балла .

Приведен верный ответ и показано, что он удовлетворяет условию задачи (проведена проверка), но не доказано, что ответ единственный – 3 балла .

Приведен только верный ответ – 1 балл .

0 баллов .

Ответ . Одно число 175.

Решение . Первый способ . В составе цифр, которыми записывается число, нет цифры 0, иначе не может быть выполнено условие задачи. Данное трехзначное число получено умножением на 5 произведения своих цифр, следовательно, оно делится на 5. Значит, его запись оканчивается цифрой 5. Получаем, что произведение цифр, умноженное на 5, должно делиться на 25. Заметим, что четных цифр в записи числа быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю. Таким образом, трехзначное число должно делиться на 25 и не содержать четных цифр. Таких чисел только пять: 175, 375, 575, 775 и 975. Произведение цифр искомого числа должно быть меньше 200, иначе, умноженное на 5, даст четырехзначное число. Поэтому числа 775 и 975 заведомо не подходят. Среди оставшихся трех чисел только 175 удовлетворяет условию задачи. Второй способ . Заметим (аналогично первому способу решения), что последняя цифра искомого числа – 5. Пусть a , b , 5 – последовательные цифры искомого числа. По условию задачи имеем: 100 a + 10 b + 5 = a · b ·5·5. Поделив обе части уравнения на 5, получаем: 20 a + 2 b + 1 = 5 ab . После вычитания из обеих частей равенства 20а и вынесения за скобки общего множителя в правой части, получаем: 2 b + 1 = 5 a (b – 4 a ) (1 ). Учитывая, что a и b могут принимать натуральные значения от 1 до 9, получаем, что возможные значения а – только 1 или 2. Но а=2 не удовлетворяет равенству (1 ), в левой части которого нечетное число, а в правой при подстановке а=2 получается четное. Итак, единственная возможность а=1. Подставив это значение в (1 ), получаем: 2 b + 1 = 5 b – 20, откуда b =7. Ответ: единственное искомое число – 175.

Критерии проверки .

Полное верное решение – 7 баллов .

Получен верный ответ и присутствуют рассуждения, существенно сокращающие перебор вариантов, но полного решения нет – 4 балла .

Верно составлено уравнение и приведены преобразования и рассуждения, позволяющие решить задачу, но решение не доведено до конца – 4 балла .

Перебор вариантов сокращен, но нет объяснений, почему, и указан верный ответ – 3 балла .

Верно составлено уравнение, но задача не решена – 2 балла .

В решении есть рассуждения, позволяющие исключить из рассмотрения какие-либо числа или рассматривать числа с определенными свойствами (например, оканчивающиеся цифрой 5), но далее существенного продвижения в решении нет – 1 балл .

Приведен только верный ответ или ответ с проверкой – 1 балл .

Ответ . 75° .

Решение . Рассмотрим треугольник АОС, где О – центр окружности. Этот треугольник равнобедренный, так как ОС и ОА – радиусы. Значит, по свойству равнобедренного треугольника, углы А и С равны. Проведем перпендикуляр СМ к стороне АО и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМС. По условию задачи, катет СМ – половина гипотенузы ОС. Значит, величина угла СОМ равна 30°. Тогда, по теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол САО (или САВ) равен 75°.

Критерии проверки .

Верное обоснованное решение задачи – 7 баллов.

Приведены верные рассуждения, являющиеся решением задачи, но по каким-либо причинам дан неверный ответ (например, указан угол СОА вместо угла САО) – 6 баллов.

Приведены в целом верные рассуждения, в которых допущены ошибки, не имеющие для сути решения принципиального характера, и дан верный ответ – 5 баллов.

Приведено верное решение задачи при отсутствии обоснований: указаны все промежуточные выводы без указания связей между ними (ссылок на теоремы или определения) – 4 балла.

Сделаны дополнительные построения и обозначения на чертеже, из которых ясен ход решения, дан верный ответ, но не приведены сами рассуждения – 3 балла.

Приведен верный ответ при неверных рассуждениях – 0 баллов.

Приведен только верный ответ – 0 баллов.

Ответ . См. рисунок.

Решение . Преобразуем данное уравнение, выделив под знаком корня полный квадрат: . Выражение в правой части имеет смысл лишь при х = 9. Подставляя это значение в уравнение, получаем: 9 2 – y 4 = 0. Разложим на множители левую часть: (3 – y )(3 + y )(9 + y 2 ) = 0. Откуда y = 3 или y = –3. Значит, координаты только двух точек (9; 3) или (9; –3) удовлетворяют данному уравнению. График уравнения изображен на рисунке.

Критерии проверки.

Проведены верные преобразования и рассуждения и верно построен график – 7 баллов.

Проведены верные преобразования, но потеряно значение y = –3; в качестве графика указана одна точка – 3 балла.

Указаны одна или две подходящие точки, возможно , с проверкой, но без иных объяснений либо после неверных преобразований – 1 балл.

Проведены верные преобразования, но объявлено, что выражение под корнем (или в правой части после возведения в квадрат) отрицательно и графиком является пустое множество точек – 1 балл.

Проведены рассуждения, приведшие к указанию двух точек, но эти точки как-либо соединены (например, отрезком) – 1 балл.

Указаны без объяснений две точки, которые как-либо соединены – 0 баллов.

В остальных случаях – 0 баллов.

Ответы заданий второго этапа олимпиады

Ответ . Могут.

Решение . Если а = , b = - , то а = b+1 и a 2 = b 2

Также можно решить систему уравнений :

Критерии проверки.

Верный ответ с указанием чисел a и b – 7 баллов .

Составлена система уравнений, но при ее решении допущена арифметическая ошибка – 3 балла .

Только ответ – 1 балл .

Ответ . За 12 секунд .

Решение . Между первым и четвертым этажами 3 пролета, а между пятым и первым – 4. Согласно условию, Петя 4 пролета пробегает на 2 секунды дольше, чем мама едет на лифте, а три пролета – на 2 секунды быстрее мамы. Значит, за 4 секунды Петя пробегает один пролет. Тогда с четвертого этажа на первый (т.е. на 3 пролета) Петя сбегает за 4*3=12 секунд.

Критерии проверки.

Верный ответ с полным решением – 7 баллов .

Объяснено, что на один пролет требуется 4 секунды, в ответе указано 4 секунды – 5 баллов .

Верное обоснование в предположении, что путь с пятого этажа на первый в 1,25 раз больше пути с четвертого этажа на первый и ответ 16 секунд – 3 балла .

Только ответ – 0 баллов .

Ответ . См. рисунок.

Решение . Т.к. х 2 =| х | 2 , то у =| х |, причем х≠ 0.

Можно также, используя определение модуля, получить, что (при х = 0 функция не определена) .

Критерии проверки.

Верный график с объяснением – 7 баллов .

Верный график без каких-либо пояснений – 5 баллов .

График функции у =|x| без выколотой точки – 3 балла .

Ответ . Да .

Решение . Разделим данный квадрат со стороной 5 прямыми, параллельными его сторонам, на 25 квадратов со стороной 1 (см. рис.). Если бы в каждом таком квадрате было не больше 4 отмеченных точек, то всего было бы отмечено не более 25*4=100 точек, что противоречит условию. Следовательно, хотя бы в одном из полученных квадратов должно быть 5 из отмеченных точек.

Критерии проверки.

Верное решение – 7 баллов .

Только ответ – 0 баллов .

Ответ . Восемью способами.

Решение . Из пункта а) следует, что раскраска всех точек с целыми координатами однозначно определяется раскраской точек, соответствующих числам 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Точка 0=14-2*7 должна быть покрашена так же как 14, т.е. красным. Аналогично, точка 1=71-107 должна быть покрашена синим, точка 3=143-20*7 – синим, и 6=20-2*7 – красным. Поэтому остается только посчитать, сколькими различными способами можно раскрасить точки, соответствующие числам 2, 4 и 5. Так как каждую точку можно раскрасить двумя способами – красным или синим – то всего способов 2*2*2=8. Примечание . При подсчете числа способов раскрашивания точек 2, 4 и 5, можно просто перечислить все способы, например, в виде таблицы:

Критерии проверки .

Верный ответ с правильным обоснованием – 7 баллов .

Задача сведена к подсчету числа способов раскрасить 3 точки, но получен ответ 6 или 7 – 4 балла .

Задача сведена к подсчету числа способов раскрасить 3 точки, но подсчет числа способов отсутствует или получен ответ, отличный от указанных ранее – 3 балла .

Ответ (в том числе правильный) без обоснования – 0 баллов .

Ответ . В 4 раза.

Решение .

Проведем отрезки МК и АС . Четырехугольник МВКЕ состоит из

треугольников МВК и МКЕ , а четырехугольник АЕС D – из треугольников

АЕС и АС D. Далее можно рассуждать разными способами.

1 способ . Треугольники МВК и АС D – прямоугольные и катеты первого в 2 раза меньше катетов второго, поэтому они подобны и площадь треугольника АС D в 4 раза больше площади треугольника МВК . Т.к. М и К – середины АВ и ВС соответственно, то МК – , поэтому МК || АС и МК = 0,5АС . Из параллельности прямых МК и АС следует подобие

треугольников МКЕ и АЕС , а т.к. коэффициент подобия равен 0,5 , то площадь треугольника АЕС в 4 раза больше площади треугольника МКЕ . Теперь: S АЕС D =SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK= 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 способ . Пусть площадь прямоугольника АВС D равна S. Тогда площадь треугольника АС D равна ( диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника), а площадь треугольника МВК равна МВ×ВК=Т.к . М и К – середины отрезков АВ и ВС , то АК и СМ – медианы треугольника АВС , поэтому Е – точка пересечения медиан треугольника АВС , т.е. расстояние от Е до АС равно h, где h – высота треугольника АВС , проведенная из вершины В . Тогда площадь треугольника АЕС равна . Тогда для площади четырехугольника АЕС D, равной сумме площадей треугольников АЕС и АС D, получаем:Далее, т.к. МК – средняя линия треугольника АВС , то площадь треугольника МКЕ равна * h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Поэтому для площади четырехугольника МВКЕ , равной сумме площадей треугольников МВК и МКЕ , получаем: . Таким образом, отношение площадей четырехугольников АЕС D и МВКЕ равно.

Критерии проверки.

Верное решение и верный ответ – 7 баллов .

Верное решение, но ответ неверен из-за арифметической ошибки – 5 баллов .

5. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ И НАГРАЖДЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ

Итоговые показатели выполняемых конкурсных заданий жюри определяет в соответствии с разработанными критериями оценок;

Для победителей олимпиады, определяемых по наибольшему количеству баллов, устанавливаются три призовых места;

Итоги конкурса оформляются отчетом организатора олимпиады.

Победители награждаются грамотами и ценными подарками.

В случае несогласия с оценкой, выставленной жюри, участник может подать письменную аппеляцию в течение часа после объявления результатов.

Обеспечивается гласность конкурса - по итогам конкурса объявляются призеры-победители.

Можно выделить следующую последовательность шагов в решении логических задач.

1. Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.

2. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединить простые высказывания в сложные с помощью логических операций.

3. Составить единое логическое выражение для требований задачи.

4. Используя законы алгебры логики, попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения.

5. Выбрать решение – набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным.

6. Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Пример:

Задача 1: «Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, пять бывших зрителей турнира заявили, что:

1. Антон был вторым, а Борис – пятым.

2. Виктор был вторым, а Денис – третьим.

3. Григорий был первым, а Борис – третьим.

4. Антон был третьим, а Евгений – шестым.

5. Виктор был третьим, а Евгений – четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый зритель ошибся в одном из двух своих высказываний. Каково было истинное распределение мест в турнире».

1) Обозначим через первую букву в имени участника турнира, а – номер места, которое он имеет, т.е. имеем .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Единое логическое выражение для всех требований задачи: .

4) В формуле L проведем равносильные преобразования, получим: .

5) Из пункта 4 следует: , , , , .

6) Распределение мест в турнире: Антон был третьим, Борис – пятым, Виктор – вторым, Григорий – первым, а Евгений – четвертым.

Задача 2: «По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено:

1. если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен;

2. если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен.

Виновен ли Иванов?»

1) Рассмотрим высказывания:

А : «Иванов виновен», В : «Петров виновен», С : «Сидоров виновен».

2) Факты, установленные следствием: , .

3) Единое логическое выражение: . Оно истинно.

Составим для него таблицу истинности.

Решить задачу – значит указать, при каких значениях А полученное сложное высказывание L истинно. Если , а , то у следствия не достаточно фактов для того, чтобы обвинить Иванова в преступлении. Анализ таблицы показывает и , т.е. Иванов в ограблении виновен.

Вопросы и задания.

1. Составить РКС для формул:

а)

2. Упростить РКС:

3. По данной переключательной схеме построить соответствующую ей логическую формулу.

4. Проверить равносильность РКС:

и

и

и

и

5. Построить схему из трех переключателей и лампочки таким образом, чтобы лампочка зажигалась только в том случае, когда ровно два переключателя находятся в положении «включено».

6. По данной таблице проводимости построить схему из функциональных элементов с тремя входами и одним выходом, реализующую формулу .

7. Проанализируйте схему, приведенную на рисунке, и выпишите формулу для функции F .

8. Задача: «Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака, Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи.

1) Клод утверждал, что Жак лжет.

2) Жак обвинял во лжи Дика.

3) Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.

Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?

9. Определить, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно, что:

1) Если первый сдал, то и второй сдал.

2) Если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал.

3) Если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.

4) Если четвертый сдал, то и первый сдал.

10. На вопрос, кто из трех студентов изучал логику, был получен ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но не верно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто изучил логику?

1. а) (коммутативность дизъюнкции );

б)
(коммутативность конъюнкции );

2. а) (ассоциативность дизъюнкции );

б) (ассоциативность конъюнкции );

3. а) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции );

б) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции );

4.
и
–законы де Моргана .

5.
;
;
;

6.
(или
) (закон исключенного третьего );

(или
(закон противоречия );

7.
(или
);
(или
);

(или
);
(или
).

Приведенные свойства обычно используются для преобразования и упрощения логических формул. Здесь приведены свойства только трех логических операций (дизъюнкции, конъюнкции и отрицания), но дальше будет показано, что все другие операции могут быть выражены через них.

С помощью логических связок можно составлять логические уравнения, и решать логические задачи подобно тому, как решаются арифметические задачи с помощью систем обычных уравнений.

Пример. Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи. Клод утверждал, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку. Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?

Решение. Рассмотрим высказывания:
{Клод говорит правду};
{Жак говорит правду};
{Дик говорит правду}.

Нам не известно, какие из них верны, но известно следующее:

1) либо Клод сказал правду, и тогда Жак солгал, либо Клод солгал, и тогда Жак сказал правду;

2) либо Жак сказал правду, и тогда Дик солгал, либо Жак солгал, и тогда Дик сказал правду;

3) либо Дик сказал правду, и тогда Клод и Жак солгали, либо Дик солгал, и тогда неверно, что оба других свидетеля солгали (т.е. хотя бы один из этих свидетелей сказал правду).

Выразим эти высказывания в виде системы уравнений:

Условие задачи будет выполнено, если одновременно истинны эти три высказывания, а значит истинна их конъюнкция. Перемножим эти равенства (т.е. возьмем их коньюнкцию)

Но
в том и только том случае, если
, а
. Следовательно, Жак говорит правду, а Клод и Дик лгут.

Любая -членная операция, обозначаемая, например,
, будет полностью определена, если установлено, при каких значениях высказываний
результат будет истинным или ложным. Один из способов задания такой операции – заполнение таблицы значений:

В таблице значений высказывания, образованного от простейших высказываний
, имеетсястрок. Столбец значений имеет такжепозиций. Следовательно, имеется
различных вариантов его заполнения, и, соответственно, число всех-членных операций равно
. При
число одночленных операций равно 4, при
число двучленных – 16, при
количество трехчленных – 256 и т.д.

Рассмотрим некоторые специальные виды формул.

Формулу называют элементарной конъюнкцией , если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных. Например, формулы,
,
,
– элементарные конъюнкции.

Формулу, представляющую собой дизъюнкцию (возможно одночленную) элементарных конъюнкций, называют дизъюнктивной нормальной формой (д. н. ф.). Например, формулы,
,
.

Теорема 1 (о приведении к д. н. ф.). Для любой формулы, являющуюся д. н. ф. .

Эта теорема и следующая за ней теорема 2 будут доказаны в следующем пункте. Применяя эти теоремы, можно стандартизировать вид логических формул.

Формулу называют элементарной дизъюнкцией , если она является дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных. Например, формулы
,
,
и т.д.

Формулу, являющуюся конъюнкцией (возможно одночленной) элементарных дизъюнкций, называют конъюнктивной нормальной формой (к. н. ф.). Например, формулы
,
.

Теорема 2 (о приведении к к. н. ф.). Для любой формулыможно найти равносильную ей формулу, являющуюся к. н. ф.

Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи. Клод утверждал, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку. Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит "да", "нет" или "не знаю", и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались

Правила силлогизмов 1.В силлогизме должно быть только три высказывания и только три термина. ЖГ Все экскурсанты разбежались в разные стороны, Петров экскурсант, значит, он разбежался в разные стороны. 3. Если обе посылки частные высказывания, то заключение сделать невозможно. 2. Если одна из посылок частное высказывание, то заключение должно быть частным. 4. Если одна из посылок отрицательное высказывание, то и заключение является отрицательным высказыванием. 5. Если обе посылки отрицательные высказывания, то заключение сделать невозможно 6. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок. 7. Термин не может быть распределён в заключении, если он не распределён в посылке.

Все кошки имеют четыре ноги. Все собаки имеют четыре ноги. Все собаки кошки. Все люди смертны. Все собаки не являются людьми. Собаки бессмертны (не смертны). Украина занимает огромную территорию. Крым входит в состав Украины. Крым занимает огромную территорию

Задача 35

Один человек поступил па работу с окладом в, 1000 долларов в год. Во время обсуждения условий при приеме ему было обещано, что в случае хорошей работы к окладу будет сделана прибавка. Причем сумму прибавки можно выбрать из двух вариантов по своему усмотрению: в одном случае предлагалась прибавка в 50 долларов каждые полгода, начиная со второй половины, в другом - по 200 долларов каждый год, начиная со второго. Предоставив свободу выбора, наниматели хотели не только попытаться сэкономить на зарплате, но и проверить, насколько быстро соображает новый сотрудник. Задумавшись на минуту, он с уверенностью назвал условия прибавки.

Какому варианту было отдано предпочтение?

Задача 36

Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи. Клод утверждал, что Жак лжет. Жак обвинял во лжи Дика, а Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку. Но следователь быстро вывел их па чистую воду, не задав им ни одного вопроса.

Кто из свидетелей говорил правду?

Задача 37

Ужасное несчастье, инспектор, сказал сотрудник музея. - Вы не можете себе представить, как я взволнован. Расскажу все по порядку. Я остался сегодня в музее с целью поработать и привести в порядок наши финансовые дела. Я как раз сидел за этим письменным столом и просматривал счета, как вдруг увидел с правой стороны тень. Окно было открыто.

И вы не слышали никакого шороха? - спросил инспектор.

Абсолютно никакого. Радио наигрывало музыку, кроме того, я был слишком увлечен своим занятием. Оторвав глаза от теп и, я увидел, что какой-то человек выскочил из окна. Ятотчас же включил верхний свет и обнаружил, что исчезли два ящика с ценнейшей коллекцией монет, которую я взял к себе в кабинет для работы. Яв ужасном состоянии: ведь эта коллекция оценена в 10 тысяч марок.

Вы полагаете, что я действительно; поверю вашим измышлениям?

Раздраженно заметил инспектор. - Никому еще не удавалось ввести меня в заблуждение, и вы не будете первым.

Каким образом инспектор догадался, что его пытались обмануть?

Задача 38

Труп пропавшего без вести лица был обнаружен завернутым в простыню, на которой имелась номерная бирка прачечной. Установили семью, которая использовала такие бирки, однако, в процессе проверки выяснилось, что члены этой семьи не были знакомы и не имели никаких контактов с погибшим и его близкими. Никаких иных свидетельств причастности их к убийству установлено не было.

Не допущено ли при проверке ошибки в полноте и правильности получения информации?

Задача 39

В авиационном подразделении служат Потапов, Щедрин, Семенов. Коновалов и Самойлов. Их специальности: пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик.

Определите, какую специальность имеет каждый из них, если известны следующие факты.

Щедрин и Коновалов не знакомы с управлением самолета;

Потапов и Коновалов готовятся стать штурманами; квартиры Щедрина и Самойлова находятся рядом с квартирой радиста;

Семеном, находясь в доме отдыха, встретил Щедрина и сестру синоптика: Потапов и Щедрин в свободное от работы время играют в шахматы с бортмехаником и пилотом; Коновалов, Семенов и синоптик увлекаются боксом; радист боксом не увлекается.

Задача 40

Тетя, которая ждала своего племянника - инспектора, бросилась ему навстречу, не скрывая своего нетерпения.

Какая-то женщина только что; вырвала у меня сумочку с деньгами и тотчас же исчезла.

Скорее всего она скрылась в самой сберегательной кассе, где ты была, - заметил инспектор. - Попробуем ее найти.

И в самом деле, тетя сразу увидела свою сумку, которая стояла на скамейке между двумя женщинами. Она была раскрыта. Когда инспектор бросил внимательный взгляд на сумку, обе женщины, заметив это, встали и прошли в другой конец комнаты. Сумочка осталась па скамье.

Но я не знаю, которая из них украла мою сумку. Яне успела ее разглядеть, - сказала тетя.

Ну, это пустяки, - ответил племянник. - Допросим обеих, но думаю, что сумку у тебя украла та, у которой...

Какая?

Задача 41

Получив сообщение о том, что серый «Шевроле» с номером, начинающимся на шестерку, сбил женщину и скрылся, инспектор и его помощник выехали к вилле господина, машина которого как будто: соответствовала описанию. Не прошло и получаса, как они были на месте.

Серый «Шевроле» стоял перед домом. Увидев полицейских, хозяин спустился к ним прямо в пижаме.

Яникуда не выезжал сегодня, - заявил он, выслушав инспектора. - Да и не мог бы: вчера я потерял ключ от зажигания, а новый будет готов только в пятницу.

Помощник, успев тем временем осмотреть автомобиль, прошептал инспектору:

Видимо, он говорит правду. На машине нет никаких следов столкновения.

Инспектор, облокотись па капот автомобиля, отвечал:

Это ничего не значит, удар был несильным, ведь потерпевшая жива. А ваше алиби, господин, кажется мне чрезвычайно подозрительным. Почему пытаетесь скрыть от меня, что только что приехали сюда на этой самой машине?

Что дало инспектору повод заподозришь господина во лжи?

Задача 42

Президент фирмы сообщает следователю о совершенной у него дома краже.

Приехав на работу, я вспомнил о том, что забыл дома необходимые документы. Я дал ключ от домашнего сейфа своему помощнику и послал его за папкой с документами. Мы с ним давно вместе работаем, я давно ему доверяю, и часто направлял его домой взять что-либо из сейфа. В этот раз, вскоре после отъезда, он позвонил мне по телефону и сообщил, что, войдя в комнату, увидел, что дверца стенного сейфа открыта, а бумаги разбросаны по всему кабинету. Я приехал домой и обнаружил, что, кроме разбросанных документов, из сейфа исчезли драгоценности и деньги.

Показания помощника: «Когда я приехал, меня впустил дворецкий и я поднялся на второй этаж квартиры. Войдя в кабинет, обнаружил разбросанные по полу бумаги и открытую дверцу сейфа. Я сразу же позвонил по телефону своему шефу и сообщил об увиденном. После этого я выскочил па площадку лестницы и позвал дворецкого. На мой крик из гостиной нижнего этажа появилась служанка и спросила, в чем дело. Я сообщил ей об увиденном. По ее вызову со двора прибежал дворецкий. На мой вопрос они сказали, что никто в квартиру после ухода хозяина не приходил и никакого шума в доме они не слышали».

Дворецкий пояснил: «После того, как утром хозяин уехал, я занимайся обычной своей работой на нижнем этаже и никого не видел и ничего необычного не слышал. Служанка при мне из кухни не выходила. Когда приехал давно знакомый мне сотрудник нашего хозяина, он пошел к лестнице на второй этаж, а вышел во двор. Через несколько минут кухарка меня позвала и я вошел в дом, где помощник сказал о краже из кабинета хозяина».

Служанка сказала, что после завтрака была па кухне, никуда не выходила и только, услышав крик помощника, вышла в гостиную. Помощник сказал о краже в доме и попросил познать дворецкого.

На вопрос следователя помощник ответил, что ничего не трогал в кабинете, кроме телефона, и не переставлял. Дворецкий и служанка сказали, что вообще в кабинет не ходили.

При осмотре в кабинете следователь не нашел па двери кабинета, дверце сейфа, предметах и телефоне на столе никаких следов пальцев рук. Исследовав замок дверцы сейфа, специалист не обнаружил па его деталях следов какого-либо предмета или постороннего ключа.