Развиваем логическое мышление, память, внимание. Воспитываем умение слушать и дисциплинированность.

Цели:

1. Обучающая:
   1. Закрепить навыки упрощения логических выражений, используя логические законы
   2. Обобщить знания по теме “Основы логики”
2. Развивиающая:
1. Развивать логическое мышление
2. Развивать внимание
3. Развивать память
4. Развивать речь учащихся
3. Воспитательная:
   1. Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
   2. Воспитывать аккуратность ведения тетради
   3. Воспитывать дисциплинированность

Ход урока

Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжаем тему «Законы логики и правила преобразования логических выражений» и обобщаем все знания – готовимся к зачету, который будет на следующем уроке

Проверка домашнего задания

Для начала проверим, как вы выполнили домашнее задание, откройте свои тетради, я посмотрю (2 ученика у доски: I – пример 1 + таблицы истинности; II – пример 2, 3 + объяснение)

Теперь давайте повторим теоретический материал по всем изученным темам раздела “Основы логики”

Кто заложил основы формальной логики? Аристотель

Что такое логика? Логика – это наука о формах и способах мышления

Назовите основные формы мышления. Основными формами мышления являются понятие, высказывание, умозаключение.

Что называется понятием? Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта

Высказывание – это…? Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

Какие значения могут принимать высказывания? 1-истина или 0-ложь

Может ли высказывание быть выражено в форме вопросительного предложения? Нет, высказывание явл. повествовательным предложением.

Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Истинность или ложность простого высказывания определяется на основании здравого смысла.

Как определяется истинность или ложность составного высказывания? Истинность или ложность составного высказывания вычисляется с помощью использования алгебры высказываний

Определить значение истинности высказывания ”Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом”. Анализируем составное высказывание. Оно состоит из двух простых высказываний: I - Приставка есть часть слова, II - она пишется раздельно со словом, которые принимают значение 1 и 0 соответственно, между ними логическая связка “И”, значит составное высказывание ложно.

В каком случае в результате операции логического умножения составное высказывание будет истинно? Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

В каком случае в результате операции логического сложения составное высказывание будет ложно? Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения, ложно тогда, когда ложны все входящие в него простые высказывания.

Как влияет инверсия на высказывание? Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

1. Упростите логическое выражение (A Ú B Ú C)&

Посмотрите на выражение, посмотрите на законы, что можно сделать? Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону Моргана) и закону двойного отрицания:

(A Ú B Ú C)& = (A Ú B Ú C)&( &B&)

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения:

(A Ú B Ú C)&( &B&) = (A&) Ú (B&) Ú (C&) Ú (A&B) Ú (B&B) Ú (C&B) Ú (A&) Ú (B&) Ú (C&)

Согласно закона противоречия:

Согласно закона идемпотентности

Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

0 Ú (A&B) Ú (&B) Ú B Ú (C&B) Ú (&B) Ú (C&) Ú (A&) Ú 0

Согласно закона исключения (склеивания)

(A&B) Ú (&B) = B

(C&B) Ú (&B) = B

0 ÚB Ú B Ú B Ú (C&) Ú (A&) Ú 0

Согласно закона исключения констант для логического сложения и закона идемпотентности:

0 Ú BÚ 0 Ú B Ú B = B

Подставляем значения и получаем:

2. Используя логические операции, записать высказывания, которые являются истинными при выполнении следующих условий:

1. неверно, что 05
   ┐((05))
2. X является max(X,Y)
   X>Y
3. X не является min(X,Y)
   ┐(X<=Y)
4. Z является min(X,Y,Z)
   (Z<=X) &(Z<=Y)

3. Сформулировать высказывания на естественном языке:

1. (X>0 и X<1) или (X<10 и X>5)
   0
2. (X≠Y) и (Y≠Z)
   X,Y,Z не равны между собой
3. не ((0 неверно, что 0
4. (0 010

4. Определить значение логического выражения не(X>Z) и не(X=Y), если:

1. X=3, Y=5, Z=2 (0)
2. X=0, Y=1, Z=19 (1)
3. X=5, Y=0, Z=-8 (0)
4. X=9, Y=-9, Z=9 (1)

Домашнее задание

Повторить весь теоретический и практический материал раздела “Основы логики”

Переходя к вопросу об истинности суждений, сразу следует сказать, что зачастую определение этого фактора становится нелегкой задачей. Это может быть связано с неоднозначностью слов, применяемых в высказываниях, или с некорректным с точки зрения логики построением суждения. Причиной может быть сложность структуры самого суждения или невозможность определения ложности либо истинности в данный момент в силу неизвестности или недоступности необходимой информации.

Определение истинности суждений непосредственно связано со сравнимостью и несравнимостью. Сравнимые суждения делятся на совместимые и несовместимые.

Несовместимые суждения могут находиться в отношениях противоречия и противоположности. Понятия, входящие в отношение противоречия, характеризуются тем, что не могут быть одновременно истинными или ложными. Если одно из противоречащих суждений истинно, то другое ложно, и наоборот.

Если одно из противоположных суждений истинно, другое обязательно ложно, так как они исключают друг друга полностью. При этом ложность одного из противоположных суждений не означает ложности или истинности другого. И действительно, противоположность суждений еще не означает, что одно из них всегда истинно, а другое – ложно. Например: «На Марсе нет жизни» и «На Марсе есть жизнь». Эти понятия неопределенны, т. е. неизвестно, истинны они или ложны. Оба они могут быть ложными. Но истинным может быть только одно из них.

Совместимые суждения входят в отношения логического подчинения, равнозначности и частичного совпадения (пересечения).

Подчиненные совместимые суждения. Носят такое название в силу того, что одно из этих суждений входит в объем другого, подчинено ему. Такие суждения имеют общий предикат. Определение истинности суждений, находящихся в отношении подчинения, связано с определенной спецификой, так как одно из суждений входит в объем второго. В связи с этим истинность общего суждения влечет истинность частного, истинность же частного не определяет с достоверностью истинности общего. Ложность общего оставляет частное суждение неопределенным, а ложность частного не означает, что ложно и общее.

Приведем пример: «Феррари – хороший автомобиль» и «Все автомобили хорошие». Второе суждение ложно. Оно является подчиняющим. При этом подчиненное ему частное суждение является истинным.

Условно говоря, совместимые равнозначные суждения отражают одно и то же явление или предмет окружающего мира, но делают это по-разному. Так, если мы возьмем для рассмотрения два разных суждения об одном предмете или явлении, т. е. два совместимых суждения, то заметим закономерность: в одном случае у обоих этих высказываний будет один субъект, но различно выраженные (хотя и имеющие одинаковый смысл) предикаты. В другом возникает обратная ситуация. Однако в данном случае мы говорим только об эквивалентных, но ни в коем случае не обо всех совместимых суждениях. Само собой разумеется, что когда два суждения эквивалентны, одинаковы по своему значению, в случае ложности одного из них ложно и второе, и наоборот.

Примером эквивалентных совместимых суждений являются следующие высказывания: «Луна является естественным спутником Земли» и «Луна – это спутник Земли, возникший в результате естественных причин».

При определении истинности совместимых суждений, не являющихся эквивалентными, необходимо каждый раз исходить из реального положения вещей: так как зачастую совместимые понятия отражают один и тот же предмет лишь частично, каждое из них в этом случае может быть как истинным, так и ложным.

Отношение пересечения характеризуется тем, что при ложности одного такого суждения другое обязательно истинно. Это связано с тем, что такие суждения имеют одинаковые субъект и предикат, которые тем не менее разнятся по качеству. При этом если одно из таких суждений истинно, то относительно другого не ясно, истинно оно или ложно.

Введение
1. Структура суждения
2. Логические отношения между суждениями
2.1. Истинность и ложность простых суждений
2.2. Истинность и ложность сложных суждений
Заключение
Литература

Введение

Суждение – более сложная форма мышления по сравнению с понятием. Если понятие является неким подобием слова естественного языка, то суждение можно сопоставить с предложением в обычной речи. Понятие является отражением действительности. Но оно, тем не менее, не несет еще информации, потому что на стадии понятия логику не интересует вопрос о том, насколько отражение соответствует действительности и соответствует ли ей вообще. В этом смысле о самих вещах понятие еще ничего не говорит. Оно поэтому не может быть ни истинным, ни ложным, пока не войдет в состав суждения.

Суждение же делает какие-то утверждения о вещах, говорит о том, чем они являются или не являются. Поэтому в отличие от понятия суждение всегда можно оценить как истинное или ложное. Оно, как говорят в таких случаях, обязательно имеет семантическое значение; это его неотъемлемое свойство. Имеются у него еще и другие дополнительные свойства. В целом содержание этой формы мышления можно выразить в трех положениях.

Суждение — это такая форма мышления, которую отличают такие свойства:

1) что-либо утверждать или отрицать;

2) относительно всех или части предметов, свойств, явлений, процессов какого-либо рода;

3) выражать либо истину, либо ложь.

Любое предложение допустимо рассматривать как суждение, когда его можно оценить с точки зрения истинности. Суждения воспроизводят отношения и связи между вещами, а также между вещами и свойствами, причем таковыми могут стать и предметы, и явления, и их различные особенности, и процессы, и даже абстрактные мысленные образования.

1. Структура суждения

Субъект — это понятие, отображающее предмет, о котором идет речь. Его можно было бы также назвать логическим подлежащим, так как в функциях того и другого много сходного. Для обозначения субъекта используется латинская буква S.

Предикат же можно уподобить логическому сказуемому, поскольку этот структурный элемент выражает свойства, приписываемые предметам из объема понятия-субъекта или отрицаемые у них. Обозначают предикат латинской P.

В суждениях «Роза красная», «Гитара семиструнная» субъектами являются «роза» и «гитара», а предикатами – «красная» (все то, что называется красным) и «семиструнная» (все то, что называется семиструнным).

В отличие от предложения все содержание суждения распределяется только между двумя составными частями — субъектом и предикатом. У предложения структурных элементов бывает больше. Теоретически это означает, что некоторые оттенки смысла, выражаемые словами в естественных языках, выпадают из рассмотрения, когда на предложение смотрят как на суждение. Оно в этом случае теряет какую-то часть окраски, хотя утрату чаще всего трудно заметить. Скажем, выражение вроде: «На нем лица нет» может иметь в виду в качестве предмета внимания и выражение лица, и растерявшегося человека (лицо только признак). Имея дело с такими выражениями, надо каждый раз оговаривать, что будет рассматриваться как субъект, а что как предикат. Еще лучше просто переформулировать предложение, чтобы отчетливее обозначить в нем структурные элементы суждения. Скажем, известное изречение «Повинную голову меч не сечет» может иногда характеризовать правосудие и тогда оно означает: «Карающий меч не (есть то, что) обращают на повинившегося человека» (S — карающий меч, P — то, что обращают на повинившегося человека). Но бывает, что эти слова прилагаются к раскаявшемуся преступнику и тогда в качестве суждения они должны звучать так: «Повинившийся человек не (есть такой, кого) карают мечем» S — повинившийся человек, P — те, кого карает меч).

Еще одна ступень упрощения мысли в суждении состоит в том, что оно не передает так называемое логическое ударение.

В художественных текстах хорошие мастера слова умеют выделить нужное звено фразы, используя различные стилистические приемы; в стихе с его ритмикой это достигается еще вернее. Но можно и наоборот, сознательно не делать стилистического выделения, сохраняя актуальными все возможные оттенки смысла, поскольку художественный образ тем совершеннее, чем он полнее. «Белеет парус одинокий в тумане моря голубом» — эти знаменитые лермонтовские строчки тоже представляют собой предложение и потому тоже могут быть превращены в суждение. Но однозначное разбиение его на субъект и предикат вряд ли выполнимо (если иметь в виду разбиение без утраты поэтических красок). Можно считать субъектом «белеющее», которое характеризуется как одинокий парус в голубом тумане. Но допустимо также предположить, что здесь речь идет о «белеющем парусе», одиноко маячащим в голубом однообразии. Нельзя отбрасывать в качестве субъекта и «одинокий парус», белеющий в морском мареве. На каком же из вариантов остановиться? Думается, неповторимое очарование этих строк создается как раз тем, что в них вложены все эти смыслы вместе. Картина является, таким образом, многомерной.

Художественное слово создает образы, а не понятия. В образах же передаются настроения и переживания — текучие, мимолетные. Логика полностью отвлекается от них.

Логические законы универсальны, и нарушать их нельзя. Поэту тоже непозволительно называть парус то белым, то голубым; и отыскание таких нарушений, когда они случаются, не вызовет затруднений. Но в действительной мысли могут соседствовать и объект внимания логики, и объект внимания художников слова. У каждого свои законы и они наслаиваются друг на друга. Предметом логики является только скелет мысли, ее устойчивый остов. Подобно тому, как архитектура требует соединять в одном сооружении и требования законов прочности, и требования законов красоты, иначе оно либо рассыплется, либо не станет шедевром, так и мастера слова должны неукоснительно соблюдать законы последовательности и определенности, если хотят, чтобы их понимали, но они не могут обходиться только ими, дабы изложение не стало сухим и однообразным, как протокольная запись. Им надо пользоваться еще и художественными приемами с их правилами и законами.

Помимо субъекта и предиката в составе суждения имеются еще два структурных элемента, которые, однако, задают логические свойства самих суждений как форм мышления, а не их содержание. Один из них — связка. Она обозначается словами «есть», «является», «представляет собой» и другими эквивалентными им выражениями. В предложениях русского языка этот элемент, как известно, может опускаться, например, в высказывании «Футбол есть спортивная игра» связка выражена явно, а в высказывании «Народ — творец истории» она подразумевается, хотя в явном виде ее нет. Без связки суждения не бывает, потому что без нее нельзя было бы задать отношение между предметом и его свойством — принадлежит оно предмету или не принадлежит. Совокупность особенностей суждения, выражаемых в нем этим его структурным элементом, называют качеством суждения: когда свойство, отмечаемое в предикате, приписывается субъекту, оно утвердительное, когда же отмечается его отсутствие, — отрицательное.

Последний структурный компонент суждения — квантор. Он выражается словами «все», «каждый», «всякий», «никакой», «некоторый», «большинство», «отчасти», «почти все» и пр. (в русском языке и квантор тоже может опускаться). Он служит для указания количественной характеристики суждения — общее оно или частное. Если понятие, стоящее на месте субъекта, берется во всем объеме, то суждение общее. «Все млекопитающие – позвоночные», «Оранжерея — помещение для выращивания растений» (подразумевается, как легко догадаться, всякая оранжерея) — примеры общих суждений. В том случае, когда говорится о части объема понятия-субъекта, тогда перед нами частное суждение. Примером таковых могут быть: «Некоторые товары ввозятся контрабандным путем», «Большинство психических актов протекает бессознательно».

Правда, по количеству можно выделить еще одну категорию — единичные суждения, у которых в качестве субъекта берется единичное понятие. По своим логическим свойствам единичные суждения относятся к суждениям общим. Хотя их содержанием действительно являются отдельные частные явления, события или лица, тем не менее, для определения их количества решающее значение имеет то, что в суждении такого рода всегда охватывается весь объем понятия-субъекта. Частей у таких объемов просто не бывает.

2. Логические отношения между суждениями

Основу отношений между суждениями составляет их сходство по смыслу и логическим значениям (истинности и ложности). В силу этого отношения устанавливаются не между любыми, а лишь между сравнимыми, т. е. имеющими общий смысл, суждениями. Учитывая структурные различия, рассмотрим вначале отношения между простыми, а затем между сложными суждениями.

2.1. Истинность и ложность простых суждений

Несравнимыми среди простых являются суждения, имеющие различные субъекты или предикаты. Таковы, например, два суждения: «Среди космонавтов есть летчики»; «Среди космонавтов есть женщины».

Сравнимыми являются суждения с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой или квантором. Обычно их называют суждениями одинаковой материи. Например: «Все американские индейцы живут в резервациях»; «Некоторые американские индейцы не живут в резервациях».

Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые суждения.

К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости: эквивалентность (полная совместимость), частичная совместимость (субконтрактностъ) и подчинение.

Эквивалентными являются такие суждения, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную — утвердительную или отрицательную — связку, одну и ту же выраженную квантором количественную характеристику. С помощью логического квадрата отношения между простыми эквивалентными суждениями не иллюстрируются.

При ложности одного из них другое будет истинным. Например, при ложности суждения «Некоторые злаки ядовиты» будет истинным суждение «Некоторые злаки не являются ядовитыми». В то же время при истинности одного из частных суждений другое может быть как истинным, так и ложным.

Подчинение имеет место между суждениями. Для них характерны следующие две зависимости.

При истинности общего суждения частное всегда будет истинным. Например, при истинности общего суждения «Всякое правоотношение регулируется нормами права» истинным будет и частное – «Некоторые правоотношения регулируются нормами права». При истинности суждения «Ни один кооператив не относится к государственным организациям» будет истинным и суждение «Некоторые кооперативы не относятся к государственным организациям».

При ложности частного суждения общее суждение также будет ложным. Например, если неверно утверждение, что «Некоторые хищения совершаются по неосторожности», то тем более будет неверным утверждение «Всякое хищение совершается по неосторожности».

При подчинении остаются неопределенными следующие зависимости: при ложности общего суждения подчиненное частное может быть как истинным, так и ложным; при истинности подчиненного частного общее может быть как истинным, так и ложным.

Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Различают два вида несовместимости: противоположность и противоречивость.

Противоположными (контрарными) являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными.

Истинность одного из противоположных суждений определяет ложность другого. Например, истинность суждения «Все офицеры – военнослужащие» определяет ложность суждения «Ни один офицер не является военнослужащим». При ложности же одного их противоположных суждений другое остается неопределенным — оно может быть как истинным, так и ложным. Так, например, при ложности суждения «Все птицы улетают зимой в теплые края» ему противоположное «Ни одна птица не улетает зимой в теплые края» тоже оказывается ложным. В другом случае при ложности суждения «Ни один судья не является юристом» ему противоположное «Все судьи – юристы» будет истинным.

Противоречащими (контрадикторными) являются суждения, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными.

Для противоречия характерна строгая, или альтернативная, несовместимость: при истинности одного из суждений другое всегда будет ложным; при ложности первого другое будет истинным.

Например, если признается истинным суждение «Все принципиальные люди признают свои ошибки», то ложным будет ему альтернативное: «Некоторые принципиальные люди не признают своих ошибок».

Следует отметить, что несовместимые единичные суждения могут находиться лишь в отношении противоречия и не могут находиться в отношении противоположности, ибо каждому отдельному предмету может быть либо присущ, либо не присущ определенный признак. Например, суждения «Суд вынес обвинительный приговор по делу X» и «Суд не вынес обвинительного приговора по делу X» находятся в отношении противоречия: если первое суждение истинно, то признается ложность второго, и наоборот.

2.2. Истинность и ложность сложных суждений

Сопоставление сложных суждений позволяет разделить их на группу независимых и группу зависимых суждений.

К независимым относятся суждения, которые не имеют общих составляющих; для них характерны все сочетания истинных значений. Зависимые — это суждения, которые имеют одинаковые составляющие и могут различаться логическими связками, включая отрицание. Пример зависимых сложных суждений: «Норвегия или Швеция имеют выход к Балтийскому морю» и «Не верно, что Норвегия и Швеция имеют выход к Балтийскому морю». Хотя эти суждения различны по логической форме (первое из них — дизъюнктивное суждение, а второе — отрицание конъюнкции), вместе с тем они зависимы, поскольку включают одинаковые составляющие.

Сложные зависимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми.

К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными. Как и в случае простых суждений различают три вида совместимости сложных суждений: эквивалентность, частичная совместимость и подчинение.

Эквивалентными являются такие суждения, которые принимают одни и те же значения, т. е. одновременно являются либо истинными, либо ложными.

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные суждения через другие — конъюнкцию через дизъюнкцию или импликацию, и наоборот.

Частичная совместимость характерна для суждений, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

Подчинение между суждениями имеет место в том случае, когда при истинности подчиняющего, подчиненное всегда будет истинным.

Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности подчиняющего суждения определить истинность подчиненного, составляет основу фундаментального в науке логики понятия логического следования, регулирующего все виды рассуждений.

Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна — противоположность, другая — противоречие.

Противоположность — отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными.

Противоречащими являются суждения, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет истинным.

Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному, последнее нужно подвергнуть отрицанию.

Заключение

Определение истинности суждений непосредственно связано со сравнимостью и несравнимостью. Сравнимые суждения делятся на совместимые и несовместимые.

Несовместимые суждения могут находиться в отношениях противоречия и противоположности. Понятия, входящие в отношение противоречия, характеризуются тем, что не могут быть одновременно истинными или ложными. Если одно из противоречащих суждений истинно, то другое ложно, и наоборот.

Если одно из противоположных суждений истинно, другое обязательно ложно, так как они исключают друг друга полностью. При этом ложность одного из противоположных суждений не означает ложности или истинности другого. И действительно, противоположность суждений еще не означает, что одно из них всегда истинно, а другое – ложно. Например: «На Марсе нет жизни» и «На Марсе есть жизнь». Эти понятия неопределенны, т. е. неизвестно, истинны они или ложны. Оба они могут быть ложными. Но истинным может быть только одно из них.

Совместимые суждения входят в отношения логического подчинения, равнозначности и частичного совпадения (пересечения).

Определение истинности суждений, находящихся в отношении подчинения, связано с определенной спецификой, так как одно из суждений входит в объем второго. В связи с этим истинность общего суждения влечет истинность частного, истинность же частного не определяет с достоверностью истинности общего. Ложность общего оставляет частное суждение неопределенным, а ложность частного не означает, что ложно и общее.

Условно говоря, совместимые равнозначные суждения отражают одно и то же явление или предмет окружающего мира, но делают это по-разному.

Список использованной литературы

1. Брюшинкин В.Н. Логика: Учеб. для ВУЗов. – 3-е изд.; испр, доп. – М.: Гардарики, 2001.
2. Дегтярев М.Г. Логика: Учеб. пособие для ВУЗов. – М.: ПЕРСЭ, 2003.
3. Гетманова А. Д. Учебник по логике. – М., 1995.
4. Ивин А.А. Логика. – М.: Высшая школа, 2002.
5. Ивлев Ю. В. Логика. М., 1997.
6. Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. М., 1995.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание. Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Математический аппарат логики: Вводятся вместо простых высказываний логические переменные: А, В, С и т.д. Например: А= Листва на деревьях опадает осенью. В= Земля прямоугольная. Значения высказываний обозначаются следующим образом: Истина- 1 Ложь- 0 Например: А=1 В=0

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) Обозначение: &, ^, *. Союз в естественном языке: и. А ^ B – «Сегодня светит солнце и идет дождь» АВА ^ B Таблица истинности Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно из высказываний ложно. Смысл высказываний А и В для указанных значений А ^ B Солнца нетДождь идет Солнце светитДождя нет Солнца нетДождя нет Солнце светитДождь идет Ложь Истина

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Обозначение: +, V. Союз в естественном языке: или. А V B – На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули» Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно. АВА V B Смысл высказываний А и В для указанных значений А V B «Мерседеса» нет«Жигули» есть «Мерседес» есть«Жигулей» нет «Мерседеса» нет«Жигулей» нет «Мерседес» есть«Жигули» есть Истина Ложь Истина Таблица истинности

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ А – «Сегодня светит солнце»В – «Сегодня не светит солнце» Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…». А – «У данного компьютера жидкокристаллический монитор» В – «Неверно, что у данного компьютера жидкокристаллический монитор»

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Смысл высказывания А Значение высказывания: «Сегодня не светит солнце» Солнца нет Солнце есть Истина Ложь Обозначение: ¬. Союз в естественном языке: не; неверно, что… А – «Сегодня светит солнце» ¬ А – «Неверно, что сегодня светит солнце» или «Сегодня не светит солнце» А¬ А Инверсия высказывания истинна, если высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Таблица истинности

Постройте отрицания следующих высказываний. 1.На улице сухо. 2.Сегодня выходной день. 3.Ваня не был готов сегодня к урокам. ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. 1.Число 456 трехзначное и четное. 2.Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. 3.Луна – спутник Земли. 4.На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь. 5.Без Вас хочу сказать Вам много При Вас я слушать Вас хочу.

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ Обозначение:. Союз в естественном языке: если…, то…. Если на улице дождь, то асфальт мокрый. Если горит красный свет на светофоре, то стою и жду зеленый. Если прямо пойдешь, то коня потеряешь. Если коровы летают, то дважды два – пять. Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

АВА B Импликация двух высказываний ложно тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Смысл высказываний А и В для указанных значений А B Дождя нетАсфальт мокрый Дождь идетАсфальт сухой Дождя нетАсфальт сухой Дождь идетАсфальт мокрый Истина Ложь Истина ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) А – «На улице дождь» В – «Асфальт мокрый» А B – «Если на улице дождь, то асфальт мокрый» Таблица истинности

Обозначение: =, ~. Союз в естественном языке: тогда и только тогда, когда…. Число А – четное, тогда и только тогда, когда число А делится нацело на 2. Прямоугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны равны. ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «… тогда и только тогда, когда…».

ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ) А – «Число А - четное» В – «Число А кратно 2» А B – «Число А – четное, тогда и только тогда, когда число А кратно 2» АВА B Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Смысл высказываний А и В для указанных значений А B Число нечетноеЧисло кратно 2 Число четноеЧисло не кратно 2 Число нечетноеЧисло не кратно 2 Дождь идетЧисло кратно 2 Ложь Истина Таблица истинности

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Инверсия ИСТИННА Тогда и только тогда, когда высказывание ЛОЖНО Дизъюнкция ЛОЖНА Конъюнкция ИСТИННА оба высказывания ЛОЖНЫ ИСТИННЫ Дизъюнкция ИСТИННА Конъюнкция ЛОЖНА хотя бы одно высказывание ИСТИННО ЛОЖНО Импликация ЛОЖНА из истинного высказывания следует ложное высказывание Эквивалентность ИСТИННА оба высказывания ложны или оба высказывания истинны

Упражнение Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. 1.Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. 2.Земля– планета Солнечной системы. 3.Если число оканчивается на 0, то оно делится на Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. 5.Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку. 6.Без Вас хочу сказать Вам много При Вас я слушать Вас хочу. 7.Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

ВЫВОД Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: А В = ¬А v В. Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А В = (¬А v В) (¬В v А). Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 1.ИНВЕРСИЯ Ā 2.КОНЪЮНКЦИЯ & 3.ДИЗЪЮНКЦИЯ 4.ИМПЛИКАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. 1 A B C & D Ā

Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Логика высказываний широко применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В простейших случаях, в небольших программах, в которых задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". Однако в программах большого объёма, в которых несколько или даже много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Например, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющим форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения тех или иных переменных может меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логика высказываний часто рассматривается в общефилософском контексте и в контексте исследования различных вопросов философии.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".

Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3

Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.

Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания A и B .

1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".

Таблица истинности для конъюнкции:

2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .

Таблица истинности для дизъюнкции:

3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".

Таблица истинности для следования (импликации):

4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15 ;

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;

4) Не("Сосна" = "Дуб") ;

5) (Не(15 20) ;

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

~, ∧, ∨, →, ↔,

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 3. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";

2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";

3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";

4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";

5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";

6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".

Пример 4. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".

Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 5. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )

B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))

(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 6. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.